De grootste gemene deler, ggd. Wat het is en hoe het te berekenen.
- Opmerking: Het ontbinden in priemfactoren van een getal: de priemgetallen vinden die zich vermenigvuldigen om dat getal te maken.
- Stel dat wanneer het getal "t" het getal "a" deelt, de rest nul is.
- Als we kijken naar de ontbinding in priemfactoren van "a" en "t", vinden we dat:
- 1) alle priemfactoren van "t" zijn ook priemfactoren van "a" en
- and
- 2) de exponenten van de priemfactoren van "t" zijn gelijk aan of kleiner dan de exponenten van de priemfactoren van "a" (zie de * opmerking hieronder)
- Het getal 12 is bijvoorbeeld een deler van het getal 60:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
- 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
- * Opmerking: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. We zeggen 2 tot de derde macht. In dit voorbeeld is 3 de exponent en 2 het grondtal. De exponent geeft aan hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. 23 is het vermogen en 8 is de waarde van het vermogen.
- Als het getal "t" een gemene deler is van de getallen "a" en "b", dan:
- 1) "t" heeft alleen de priemfactoren die ook ingrijpen in de priemontbinding van "a" en "b".
- and
- 2) elke priemfactor van "t" heeft de kleinste exponenten ten opzichte van de priemfactoren van de getallen "a" en "b".
- Het getal 12 is bijvoorbeeld de gemene deler van de getallen 48 en 360. Hieronder vindt u hun ontbinding in priemfactoren:
- 12 = 22 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- Je ziet dat het getal 12 alleen de priemfactoren heeft die ook voorkomen bij het ontbinden in priemfactoren van de getallen 48 en 360.
- Je kunt hierboven zien dat de getallen 48 en 360 verschillende gemeenschappelijke delers hebben: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Hiervan is 24 de grootste gemene deler (ggd) van 48 en 360.
- 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
- 48 = 24 × 3
- 360 = 23 × 32 × 5
- 24, de grootste gemene deler van de getallen 48 en 360, wordt berekend als het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren van de twee getallen, genomen door de kleinste exponenten (de kleinste machten).
- Als twee getallen "a" en "b" geen andere gemene deler dan 1 hebben, ggd (a, b) = 1, dan worden de getallen "a" en "b" relatief priemgetal genoemd.
- Als "a" en "b" geen relatief priemgetal zijn, dan is elke gemene deler van "a" en "b" een deler van de grootste gemene deler van "a" en "b".
- Laten we een voorbeeld bekijken voor het berekenen van de grootste gemene deler, ggd, van de volgende getallen:
- 1.260 = 22 × 32
- 3.024 = 24 × 32 × 7
- 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
- ggd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
- En nog een voorbeeld:
- 900 = 22 × 32 × 52
- 270 = 2 × 33 × 5
- 210 = 2 × 3 × 5 × 7
- ggd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
- En nog een voorbeeld:
- 90 = 2 × 32 × 5
- 27 = 33
- 22 = 2 × 11
- ggd (90, 27, 22) = 1 - De drie getallen hebben geen priemfactoren gemeen, ze zijn relatief priemgetallen.