- Een breuk vereenvoudigd tot zijn eenvoudigste equivalente vorm is een breuk die niet langer kan worden vereenvoudigd, hij is herleid tot zijn eenvoudigste equivalente breuk, die met de kleinst mogelijke teller en noemer - dat zijn relatief priemgetallen.
- 1. Ontbind de teller en noemer van de breuk in priemfactoren. Ontbinden in priemfactoren hier: ⇒ online ontbinding van getallen in priemfactoren
- 2. Bereken de grootste gemene deler, ggd, van de teller en noemer van de breuk. Bereken hier ggd: ⇒ bereken de grootste gemene deler, ggd, van getallen
- 3. Deel zowel de teller als de noemer van de breuk door ggd.
- De aldus verkregen breuk wordt een tot zijn eenvoudigste equivalentvorm vereenvoudigde breuk genoemd, onvereenvoudigbare breuk (die met de kleinst mogelijke teller en noemer): de ggd van de teller en de noemer van zo'n breuk is gelijk aan 1.
Voorbeeld 1: vereenvoudig de echte breuk 24/32 tot zijn eenvoudigste vorm.
- Een echte breuk: een breuk waarbij de noemer groter is dan de teller. Voorbeeld: 1/3, 2/6, 24/32
- Een onechte breuk: een breuk waarvan de noemer gelijk is aan of kleiner is dan de teller. Voorbeeld: 3/2, 2/2, 36/34
1) Ontbind in priemfactoren zowel de teller als de noemer van de breuk.
- De teller van de breuk is 24, de ontbinding in priemfactoren is:
24 = 23 × 3. - De noemer van een breuk is 32, de ontbinding in priemfactoren is: 32 = 25.
2) Bereken de grootste gemene deler, ggd, van de teller en noemer van de breuk.
- De grootste gemene deler, ggd (24; 32), wordt berekend door alle gemeenschappelijke priemfactoren van zowel de teller als de noemer te vermenigvuldigen, genomen door hun laagste machten (de gemeenschappelijke priemfactoren met de laagste exponenten):
- ggd (24; 32) = (23 × 3; 25) = 23 = 8.
3) Deel zowel de teller als de noemer van de breuk door hun grootste gemene deler, ggd.
- Zowel de teller als de noemer van de breuk worden gedeeld door de grootste gemene deler, ggd:
- 24/32 =
(24 ÷ 8)/(32 ÷ 8) =
(23 × 3 ÷ 23)/(25 ÷ 23) =
3/4 - De aldus verkregen breuk wordt een vereenvoudigde breuk tot zijn eenvoudigste equivalente vorm genoemd (onvereenvoudigbare breuk) - hij kan niet meer worden vereenvoudigd, hij heeft de kleinst mogelijke teller en noemer.
Voorbeeld 2: vereenvoudig de echte breuk 130/455 tot zijn eenvoudigste vorm.
1) Ontbind in priemfactoren zowel de teller als de noemer van de breuk.
- De teller van de breuk is 130, de ontbinding in priemfactoren is:
130 = 2 × 5 × 13. - De noemer van breuken is 455, de ontbinding in priemfactoren is:
455 = 5 × 7 × 13. 2) Bereken de grootste gemene deler, ggd, van de teller en noemer van de breuk.
- De grootste gemene deler, ggd (130; 455), wordt berekend door alle gemeenschappelijke priemfactoren van zowel de teller als de noemer te vermenigvuldigen, genomen door hun laagste machten (de gemeenschappelijke priemfactoren met de laagste exponenten):
- ggd (130; 455) = (2 × 5 × 13; 5 × 7 × 13) = 5 × 13 = 65.
3) Deel zowel de teller als de noemer van de breuk door hun grootste gemene deler, ggd.
- Zowel de teller als de noemer van de breuk worden gedeeld door de grootste gemene deler, ggd:
- 130/455 =
(2 × 5 × 13)/(5 × 7 × 13) =
((2 × 5 × 13) ÷ (5 × 13)) / ((5 × 7 × 13) ÷ (5 × 13)) =
2/7 - De aldus verkregen breuk wordt een tot zijn eenvoudigste equivalentvorm vereenvoudigde breuk genoemd.
Voorbeeld 3: vereenvoudig de echte breuk 315/1.155 tot zijn eenvoudigste vorm.
1) Ontbind in priemfactoren zowel de teller als de noemer van de breuk.
- De teller van de breuk is 315, de ontbinding in priemfactoren is:
315 = 3 × 3 × 5 × 7 = 32 × 5 × 7 - De noemer van de breuk is 1,155, de ontbinding in priemfactoren is:
1.155 = 3 × 5 × 7 × 11. 2) Bereken de grootste gemene deler, ggd, van de teller en noemer van de breuk.
- De grootste gemene deler, ggd (315; 1.155), wordt berekend door alle gemeenschappelijke priemfactoren van zowel de teller als de noemer te vermenigvuldigen, genomen door hun laagste machten (de gemeenschappelijke priemfactoren met de laagste exponenten):
- ggd (315; 1.155) = (32 × 5 × 7; 3 × 5 × 7 × 11) = 3 × 5 × 7 = 105
3) Deel zowel de teller als de noemer van de breuk door hun grootste gemene deler, ggd.
- De teller en noemer van de breuk worden gedeeld door hun grootste gemene deler, ggd:
- 315/1.155 =
(32 × 5 × 7)/(3 × 5 × 7 × 11) =
((32 × 5 × 7) ÷ (3 × 5 × 7)) / ((3 × 5 × 7 × 11) ÷ (3 × 5 × 7)) =
3/11 - De aldus verkregen breuk wordt een zoveel mogelijk vereenvoudigde breuk genoemd, tot in de eenvoudigste equivalentvorm.
Voorbeeld 4: vereenvoudig de onechte breuk (oneigenlijke breuk) 455/130 tot zijn eenvoudigste vorm.
1) Ontbind in priemfactoren zowel de teller als de noemer van de breuk.
- De teller van de breuk is 455, de ontbinding in priemfactoren is:
455 = 5 × 7 × 13 - De noemer van een breuk is 130, de ontbinding in priemfactoren is:
130 = 2 × 5 × 13 2) Bereken de grootste gemene deler, ggd, van de teller en noemer van de breuk.
- De grootste gemene deler, ggd (455; 130), wordt berekend door alle gemeenschappelijke priemfactoren van zowel de teller als de noemer te vermenigvuldigen, genomen door hun laagste machten (de gemeenschappelijke priemfactoren met de laagste exponenten):
- ggd (455; 130) = (5 × 7 × 13; 2 × 5 × 13) = 5 × 13 = 65
3) Deel zowel de teller als de noemer van de breuk door hun grootste gemene deler, ggd.
- Zowel de teller als de noemer van de breuk worden gedeeld door de grootste gemene deler, ggd:
- 455/130 =
(5 × 7 × 13)/(2 × 5 × 13) =
((5 × 7 × 13) ÷ (5 × 13)) / ((2 × 5 × 13) ÷ (5 × 13)) =
7/2 - De aldus verkregen breuk wordt een zoveel mogelijk vereenvoudigde breuk genoemd, tot zijn eenvoudigste equivalentvorm.
- Maar er is meer: elke onechte breuk kan worden geschreven als de som van een geheel getal en een echte breuk.
- In ons geval:
- 7/2 =
(2 × 3 + 1)/2 =
(2 × 3)/2 + 1/2 =
3/1 + 1/2 =
3 + 1/2 =
3 1/2 - 3 1/2 wordt een gemengd getal genoemd (een gemengde breuk).
Waarom breuken vereenvoudigen tot de eenvoudigste vormen?
Bij bewerkingen met breuken worden ze vaak naar dezelfde noemer gebracht en soms zijn zowel de tellers als de noemers grote getallen. Berekeningen maken met zulke grote getallen kan moeilijk zijn. Door een breuk te vereenvoudigen, worden zowel de teller als de noemer van de breuk teruggebracht tot kleinere waarden, wat veel gemakkelijker is om mee te werken.