De natuurlijke getallen, groter dan 1, die alleen door 1 delen zonder rest, worden priemgetallen genoemd.
Elk priemgetal, "m", heeft slechts twee delers, het getal zelf, "m", en het getal 1:
m = 1 × m
Voorbeelden van priemgetallen:
1 wordt niet als een priemgetal beschouwd.
Het eerste priemgetal is 2 en dus begint de lijst met priemgetallen met het getal 2:
2 is alleen deelbaar door 2 en 1, dus 2 is een priemgetal.
3 is alleen deelbaar door 3 en 1, dus 3 is een priemgetal.
5 is alleen deelbaar door 5 en 1, dus 5 is een priemgetal.
7 is alleen deelbaar door 7 en 1, dus 7 is een priemgetal.
11 is alleen deelbaar door 11 en 1, dus 11 is een priemgetal.
...
2 is het enige even getal dat een priemgetal is. Alle andere priemgetallen zijn oneven getallen.
2. De grondstelling van de rekenkunde
Het ontbinden in priemfactoren van een getal: de priemgetallen vinden die zich vermenigvuldigen om dat getal te vormen.
De fundamentele rekenkundige stelling zegt dat elk natuurlijk getal groter dan 1 kan worden geschreven als een product van een of meer priemgetallen op een manier die uniek is, met uitzondering van de volgorde van de priemfactoren.
Dus waarom wordt het getal 1 niet als een priemgetal beschouwd? Als 1 als een priemgetal zou worden beschouwd, dan zou de ontbinding in priemfactoren van het getal 6 bijvoorbeeld kunnen zijn: 6 = 2 × 3 of 6 = 1 × 2 × 3. Deze twee representaties zouden worden beschouwd als twee verschillende factorisaties in priemfactoren van hetzelfde getal, 6, dus de bewering van de fundamentele stelling zou niet langer waar zijn.
3. Samengestelde getallen
Een samengesteld getal is een natuurlijk getal dat ten minste één andere positieve deler heeft dan 1 en het getal zelf.
Een samengesteld getal is ook elk getal groter dan 1 dat geen priemgetal is.
Voorbeelden van samengestelde getallen:
4 is deelbaar door 4, 2 en 1, dus 4 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De ontbinding in priemfactoren van 4 = 2 × 2 = 22
1ste Opmerking: Het tweede deel van de ontbinding in priemfactoren van 4 is geschreven met behulp van machten en exponenten en is een beknopte weergave van het eerste deel.
2e Opmerking: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. Het getal 2 wordt de basis genoemd en 3 is de exponent. De exponent vertelt ons hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. 23 is het vermogen en 8 is de waarde van het vermogen. 23 = we zeggen 2 tot de derde macht.
6 is deelbaar door 6, 3, 2 en 1, dus 6 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De ontbinding in priemfactoren van 6 = 2 × 3
8 is deelbaar door 8, 4, 2 en 1, dus 8 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De ontbinding in priemfactoren is 8 = 2 × 2 × 2 = 23
9 is deelbaar door 9, 3 en 1, dus 9 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De ontbinding ervan in priemfactoren: 9 = 32
10 is deelbaar door 10, 5, 2 en 1, dus 10 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De ontbinding in priemfactoren van 10 = 2 × 5
12 is deelbaar door 12, 4, 3, 2 en 1, dus 12 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De ontbinding in priemfactoren is 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
Opmerking:
De samengestelde getallen zijn alle natuurlijke getallen groter dan 1 die geen priemgetallen zijn.
Elk samengesteld getal kan worden geschreven als een product van ten minste twee priemgetallen (of twee instanties van hetzelfde priemgetal).
We zouden kunnen zeggen dat de priemgetallen de basisbouwstenen zijn van alle samengestelde getallen.
4. De priemgetallen, tot 200:
Zoals hierboven vermeld, is het eerste priemgetal niet 1, maar 2. Het getal 1 wordt niet als een priemgetal beschouwd.
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,
31, 37, 41, 43, 47, 53, 59,
61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97,
101, 103, 107, 109, 113, 127,
131, 137, 139, 149, 151, 157,
163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Een laatste opmerking over de priemgetallen:
EUCLID (300 v.Chr.) bewees dat aangezien de verzameling van natuurlijke getallen oneindig is, ook de verzameling van priemgetallen oneindig is, zonder grootste priemgetal.
Er is geen eenvoudige formule bekend die alle priemgetallen onderscheidt van de samengestelde getallen.