1. Wat is de deelbaarheid van getallen? 2. Deelbaarheidsregels. 3. Berekening van de delers. 4. Snelle manieren om te bepalen of een getal deelbaar is door een ander getal of niet.
1. Deelbaarheid:
- Men zegt dat een natuurlijk getal deelbaar is door een ander natuurlijk getal als na het delen van de twee getallen de rest van de bewerking nul is.
- Voorbeeld:Laten we twee verschillende getallen delen: 12 en 15, door 4.
- Bij het delen van 12 door 4 is het quotiënt 3 en is de rest van de bewerking nul.
- Maar als we 15 delen door 4, is het quotiënt 3 en de bewerking laat een rest van 3 over.
- We zeggen dat het getal 12 deelbaar is door 4 en 15 niet deelbaar is door 4.
- We zeggen ook dat 4 een deler is van 12, maar geen deler van 15.
- We zeggen dat het getal "a" deelbaar is door "b", als er een geheel getal "n" is, zodat:
- a = n × b.
- Het getal "b" wordt een deler van "a" genoemd ("n" is ook een deler van "a").
2. Enkele deelbaarheidsregels:
- 0 is deelbaar door elk ander getal dan zichzelf.
- 1 is een deler van elk getal.
- Priemgetallen: Een getal dat alleen deelbaar is door 1 en zichzelf is, wordt een priemgetal genoemd.
- Relatief priemgetallen: Als de grootste gemene deler van twee getallen, "m" en "n", de ggd (m; n) = 1 is, betekent dit dat de twee getallen relatief priemgetallen zijn, met andere woorden, ze hebben geen andere deler dan 1. Als een getal "a" deelbaar is door deze twee relatief priemgetallen, "m" en "n", dan is "a" ook deelbaar door hun product, (m × n).
- Voorbeeld:
- Het getal 84 is deelbaar door 4 en 3 en is ook deelbaar door 4 × 3 = 12.
- Dit is waar omdat de twee delers, 3 en 4, relatief priemgetallen zijn.
3. Berekening van de delers:
- Het berekenen van de delers van een getal is erg handig bij het vereenvoudigen van breuken (tot de eenvoudigste equivalente vormen).
- De vastgestelde regels voor het vinden van delers zijn gebaseerd op het feit dat de getallen in het decimale systeem worden geschreven:
- Veelvouden van 10 zijn deelbaar door 2 en 5, omdat 10 deelbaar is door 2 en 5.
- Veelvouden van 100 zijn deelbaar door 4 en 25, omdat 100 deelbaar is door 4 en 25.
- Veelvouden van 1.000 zijn deelbaar door 8, omdat 1.000 deelbaar is door 8.
- Alle machten van 10, gedeeld door 3 of 9, hebben een rest die gelijk is aan 1.
- Vanwege de werkingsregels met restanten, hebben we de volgende resten bij het delen van getallen door 9:
- 600 laat een rest over die gelijk is aan 6 = 1 × 6 (1 voor elke 100)
- 240 = 2 × 100 + 4 × 10, dan is de rest gelijk aan 2 × 1 + 4 × 1 = 6
- Wanneer een getal wordt gedeeld door 3 of 9, is de rest gelijk aan wat je krijgt door de som van de cijfers van dat getal te delen door 3 of 9:
- 7.309 heeft de som van de cijfers: 7 + 3 + 0 + 9 = 19, dat wordt gedeeld door een rest door 3 of 9. Dus 7.309 is niet deelbaar door 3 en ook niet door 9.
- Alle even machten van 10, zoals 102 = 100, 104 = 10.000, 106 = 1.000.000, enzovoort, gedeeld door 11, een rest die gelijk is aan 1.
- Alle oneven machten van 10, zoals 101 = 10, 103 = 1.000, 105 = 100.000, 107 = 10.000.000, enzovoort, hebben bij deling door 11 een rest die gelijk is aan 10. In dit geval heeft de afwisselende som van de cijfers van het getal dezelfde rest als het getal zelf wanneer gedeeld door 11.
- Hoe wordt de afwisselende som van de cijfers berekend - het wordt getoond in het onderstaande voorbeeld.
- Bijvoorbeeld voor het getal: 85.976: 6 + 9 + 8 = 23, 7 + 5 = 12, de afwisselende som van de cijfers: 23 - 12 = 11. Dus 85.976 is deelbaar door 11.
4. Snelle manieren om te bepalen of een getal deelbaar is door een ander getal of niet:
- 2, als het laatste cijfer deelbaar is door 2. Als het laatste cijfer van een getal 0, 2, 4, 6 of 8 is, dan is het getal deelbaar door 2. Bijvoorbeeld het getal 20: 0 is deelbaar door 2, dus dan moet 20 deelbaar zijn door 2 (inderdaad: 20 = 2 × 10).
- 3, als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 3. Bijvoorbeeld het getal 126: de som van de cijfers is 1 + 2 + 6 = 9, wat deelbaar is door 3. Dan moet het getal 126 ook deelbaar zijn door 3 (inderdaad: 126 = 3 × 42).
- 4, als de laatste twee cijfers van het getal een getal vormen dat deelbaar is door 4. Bijvoorbeeld 124: 24 is deelbaar door 4 (24 = 4 × 6), dus 124 is ook deelbaar door 4 (inderdaad: 124 = 4 × 31).
- 5, als het laatste cijfer deelbaar is door 5 (het laatste cijfer is 0 of 5). Bijvoorbeeld 100: het laatste cijfer, 0, is deelbaar door 5, dan moet het getal 100 deelbaar zijn door 5 (inderdaad: 100 = 5 × 20).
- 6, als het getal deelbaar is door zowel 2 als 3. Is het getal 24 bijvoorbeeld deelbaar door 2 (24 = 2 × 12) en is het ook deelbaar door 3 (24 = 3 × 8), dan moet het deelbaar zijn door 6. Inderdaad, 24 = 6 × 4.
- 7, als het laatste cijfer van het getal (het eenheidscijfer), verdubbeld, afgetrokken van het getal dat bestaat uit de rest van de cijfers, een getal oplevert dat deelbaar is door 7. Het proces kan worden herhaald totdat een kleiner getal wordt verkregen. Is het getal 294 bijvoorbeeld deelbaar door 7? We passen het algoritme toe: 29 - (2 × 4) = 29 - 8 = 21. 21 is deelbaar door 7. 21 = 7 × 3. Maar we hadden het algoritme opnieuw kunnen toepassen, dit keer op het getal 21: 2 - (2 × 1) = 2 - 2 = 0. Nul is deelbaar door 7, dus 21 moet deelbaar zijn door 7. Als 21 deelbaar is door 7, dan moet 294 deelbaar zijn door 7.
- 8, als de laatste drie cijfers van het getal een getal vormen dat deelbaar is door 8. Bijvoorbeeld, het getal 2120: 120 is deelbaar door 8 aangezien 120 = 8 × 15. Dan moet 2.120 ook deelbaar zijn door 8. Bewijs: als we de getallen delen, is 2.120 = 8 × 265.
- 9, als de som van de cijfers van het getal deelbaar is door 9. Het getal 270 heeft bijvoorbeeld de som van de cijfers gelijk aan 2 + 7 + 0 = 9, wat deelbaar is door 9. Dan moet 270 ook deelbaar zijn door 9. Inderdaad: 270 = 9 × 30.
- 10, als het laatste cijfer van het getal 0 is. 140 is bijvoorbeeld deelbaar door 10, aangezien 140 = 10 × 14.
- 11, als de afwisselende som van de cijfers deelbaar is door 11. Het getal 2.915 heeft bijvoorbeeld de afwisselende som van de cijfers gelijk aan: (5 + 9) - (1 + 2) = 14 - 3 = 11, wat deelbaar is door 11. Dan moet het getal 2.915 ook deelbaar zijn door 11: 2,915 = 11 × 265.
- 25, als de laatste twee cijfers van het getal een getal vormen dat deelbaar is door 25. Het getal dat bestaat uit de laatste twee cijfers van het getal 275 is bijvoorbeeld 75, wat deelbaar is door 25, aangezien 75 = 25 × 3. Dan moet 275 ook deelbaar zijn door 25: 275 = 25 × 11.