kgv (9.789; 999.999.999.915) = ? Bereken het kleinste gemene veelvoud, kgv, op twee manieren: 1) Ontbinding in priemfactoren en 2) Het Euclidische algoritme
Het kleinste gemene veelvoud
kgv (9.789; 999.999.999.915) = ?
Methode 1. De ontbinding in priemfactoren:
Het ontbinden in priemfactoren van een getal: de priemgetallen vinden die zich vermenigvuldigen om dat getal te maken.
9.789 = 3 × 13 × 251
9.789 is geen priemgetal maar een samengesteld getal.
999.999.999.915 = 3 × 5 × 7 × 9.523.809.523
999.999.999.915 is geen priemgetal maar een samengesteld getal.
* De natuurlijke getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf heten priemgetallen. Een priemgetal heeft precies twee delers: 1 en zichzelf.
* Een samengesteld getal is een natuurlijk getal dat ten minste één andere deler heeft dan 1 en zichzelf.
Bereken het kleinste gemene veelvoud, kgv:
Vermenigvuldig alle priemfactoren van de twee getallen. Als er gemeenschappelijke priemfactoren zijn, worden alleen die met de grootste exponenten genomen (de grootste machten).
Het kleinste gemene veelvoud:
kgv (9.789; 999.999.999.915) = 3 × 5 × 7 × 13 × 251 × 9.523.809.523 = 3.262.999.999.722.645
De twee getallen hebben gemeenschappelijke priemfactoren
Methode 2. Het Euclidische algoritme:
1. Bereken de grootste gemene deler:
Dit algoritme omvat het delen van getallen en het berekenen van de restanten.
'a' en 'b' zijn de twee natuurlijke getallen, 'a' >= 'b'.
Deel 'a' door 'b' en verkrijg de rest van de bewerking, 'r'.
Als 'r' = 0, STOP. 'b' = de ggd van 'a' en 'b'.
Anders: Vervang ('a' door 'b') en ('b' door 'r'). Keer terug naar de stap hierboven.
Stap 1. Deel het grotere getal door het kleinere:
999.999.999.915 : 9.789 = 102.155.480 + 6.195
Stap 2. Deel het kleinere getal door de rest van de bovenstaande bewerking:
9.789 : 6.195 = 1 + 3.594
Stap 3. Deel de rest van stap 1 door de rest van stap 2:
6.195 : 3.594 = 1 + 2.601
Stap 4. Deel de rest van stap 2 door de rest van stap 3:
3.594 : 2.601 = 1 + 993
Stap 5. Deel de rest van stap 3 door de rest van stap 4:
2.601 : 993 = 2 + 615
Stap 6. Deel de rest van stap 4 door de rest van stap 5:
993 : 615 = 1 + 378
Stap 7. Deel de rest van stap 5 door de rest van stap 6:
615 : 378 = 1 + 237
Stap 8. Deel de rest van stap 6 door de rest van stap 7:
378 : 237 = 1 + 141
Stap 9. Deel de rest van stap 7 door de rest van stap 8:
237 : 141 = 1 + 96
Stap 10. Deel de rest van stap 8 door de rest van stap 9:
141 : 96 = 1 + 45
Stap 11. Deel de rest van stap 9 door de rest van stap 10:
96 : 45 = 2 + 6
Stap 12. Deel de rest van stap 10 door de rest van stap 11:
45 : 6 = 7 + 3
Stap 13. Deel de rest van stap 11 door de rest van stap 12:
6 : 3 = 2 + 0
Bij deze stap is de rest nul, dus stoppen we:
3 is het getal waar we naar op zoek waren - de laatste niet-nul rest.
Dit is de grootste gemene deler.
De grootste gemene deler:
ggd (9.789; 999.999.999.915) = 3
2. Bereken het kleinste gemene veelvoud:
Het kleinste gemene veelvoud, Formule:
kgv (a; b) = (a × b) / ggd (a; b)
kgv (9.789; 999.999.999.915) =
(9.789 × 999.999.999.915) / ggd (9.789; 999.999.999.915) =
9.788.999.999.167.935 / 3 =
3.262.999.999.722.645
Het kleinste gemene veelvoud:
kgv (9.789; 999.999.999.915) = 3.262.999.999.722.645 = 3 × 5 × 7 × 13 × 251 × 9.523.809.523
Waarom is het handig om het kleinste gemene veelvoud te berekenen?
Bij het optellen, aftrekken of sorteren van breuken met verschillende noemers, moeten we, om met die breuken te werken, eerst hun noemers gelijk maken (gelijknamige breuken maken). Een gemakkelijke manier is om het kleinste gemene veelvoud te berekenen van alle noemers van de breuken (de kleinste gemene deler).
Per definitie is het kleinste gemene veelvoud van twee getallen het kleinste natuurlijke getal dat is: (1) groter dan 0 en (2) een veelvoud van beide getallen.
Andere vergelijkbare bewerkingen met het kleinste gemene veelvoud:
Rekenmachine: bereken het kleinste gemene veelvoud, kgv
Bereken het kleinste gemene veelvoud van de getallen, kgv:
Methode 1: Voer de ontbinding uit in de priemfactoren van de getallen - vermenigvuldig vervolgens alle priemfactoren van de getallen, genomen door de grootste exponenten.
Methode 2: Het Euclidische algoritme:
kgv (a; b) = (a × b) / ggd (a; b)
Methode 3: De deelbaarheid van de getallen.