* De natuurlijke getallen die alleen deelbaar zijn door 1 en zichzelf, worden priemgetallen genoemd. Een priemgetal heeft precies twee delers: 1 en zichzelf. * Een samengesteld getal is een natuurlijk getal dat minstens één andere deler heeft dan 1 en zichzelf.
2. Bereken de grootste gemene deler, ggd:
Vermenigvuldig alle gemeenschappelijke priemfactoren, genomen door hun kleinste exponenten (de kleinste machten).
Vermenigvuldig de priemfactoren die betrokken zijn bij het ontbinden in priemfactoren van de ggd in al hun unieke combinaties, die verschillende resultaten opleveren.
Overweeg ook de exponenten van de priemfactoren (voorbeeld: 32 = 3 × 3 = 9).
Voeg ook 1 toe aan de lijst met delers. Alle getallen zijn deelbaar door 1.
Alle delers staan hieronder vermeld - in oplopende volgorde
Delers, gemene delers, de grootste gemene deler, ggd
Als het getal "t" een deler is van het getal "a" dan komen we bij het ontbinden in priemfactoren van "t" alleen priemfactoren tegen die ook voorkomen bij het ontbinden in priemfactoren van "a".
Als er exponenten bij betrokken zijn, is de maximale waarde van een exponent voor elk grondtal van een macht die wordt gevonden bij het ontbinden in priemfactoren van "t" maximaal gelijk aan de exponent van hetzelfde grondtal dat betrokken is bij het ontbinden in priemfactoren van "a".
Tip: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. 2 wordt het grondtal genoemd en 3 is de exponent. 23 is het vermogen en 8 is de waarde van het vermogen. 23 = we zeggen 2 tot de derde macht.
Bijvoorbeeld 12 is een deler van 120 - de rest is nul bij het delen van 120 door 12.
Laten we eens kijken naar het ontbinden in priemfactoren van beide getallen en let op de bases en de exponenten:
12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 23 × 3 × 5
120 bevat alle priemfactoren van 12, en alle exponenten van de bases zijn hoger dan die van 12.
Als "t" een gemene deler is van "a" en "b", dan bevat de ontbinding in priemfactoren van "t" alleen de gemeenschappelijke priemfactoren die betrokken zijn bij de ontbinding van zowel "a" als "b" ".
Als er exponenten bij betrokken zijn, is de maximale waarde van een exponent voor elk grondtal van een macht die wordt gevonden in de ontbinding in priemfactoren van "t" hoogstens gelijk aan het minimum van de exponenten van hetzelfde grondtal dat betrokken is bij de ontbinden in priemfactoren van zowel "a" als "b".
Bijvoorbeeld: 12 is de gemene deler van 48 en 360.
De rest is nul bij het delen van 48 of 360 door 12.
Hier zijn de ontbindingen in priemgetallen van de drie getallen, 12, 48 en 360:
12 = 22 × 3
48 = 24 × 3
360 = 23 × 32 × 5
Houd er rekening mee dat 48 en 360 meer delers hebben: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Onder hen is 24 de grootste gemene deler, ggd, van 48 en 360.
De grootste gemene deler, ggd, van twee getallen, "a" en "b", is het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren die betrokken zijn bij het ontbinden in priemfactoren van zowel "a" als "b ", genomen door de laagste exponenten.
Op basis van deze regel wordt de grootste gemene deler, ggd, van meerdere getallen berekend, zoals in onderstaand voorbeeld...
ggd (1.260; 3.024; 5.544) = ?
1.260 = 22 × 32
3,024 = 24 × 32 × 7
5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
De gemeenschappelijke priemfactoren zijn:
2 - de laagste exponent is: min.(2; 3; 4) = 2
3 - de laagste exponent is: min.(2; 2; 2) = 2
ggd (1.260; 3.024; 5.544) = 22 × 32 = 252
Relatief priemgetallen:
Als twee getallen "a" en "b" geen andere gemene deler hebben dan 1, ggd (a; b) = 1, dan worden de getallen "a" en "b" relatief priem genoemd.
Delers van de ggd
Als "a" en "b" geen relatief priemgetal zijn, dan is elke gemene deler van "a" en "b" ook een deler van de grootste gemene deler, ggd, van "a" en "b".