De ontbinding van het getal 561.060.817 in priemfactore. Online rekenmachinen

Controleer of 561.060.817 een priemgetal of een samengesteld getal is. Kan het worden ontleed in priemfactoren? Hoe verloopt de ontbinding in priemfactoren?

Berekeningen:

De ontbinding van een getal in priemfactoren: de priemgetallen vinden die zich vermenigvuldigen om dat getal te maken.
- Voorbeeld: 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
Een priemgetal: een natuurlijk getal dat alleen deelbaar is (het wordt gedeeld zonder rest) door 1 en zichzelf. Een priemgetal heeft slechts twee delers: 1 en het getal zelf..
- Voorbeeld: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ...
- Het enige even priemgetal is 2. Alle andere priemgetallen zijn oneven getallen.
Een samengesteld getal: een natuurlijk getal dat ten minste één andere deler heeft dan 1 en zichzelf. Een samengesteld getal heeft minimaal drie delers. Een samengesteld getal is ook een getal dat geen priemgetal is..
- Voorbeeld: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, ...
- De samengestelde getallen zijn gemaakt van priemgetallen die met elkaar worden vermenigvuldigd.
- Voorbeeld: 6 = 2 × 3; 10 = 2 × 5; 12 = 2 × 2 × 3; ...

We hebben de lijst met de eerste priemgetallen nodig, gerangschikt van 2 tot, laten we zeggen, 17 (17² = 17 × 17 = 289 > 220): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17. De priemgetallen zijn de bouwstenen van de samengestelde getallen. De samengestelde getallen bestaan uit priemgetallen die met elkaar worden vermenigvuldigd, zoals u hieronder zult zien.
1. Begin met het delen van 220 door het kleinste priemgetal, 2:
- 220 ÷ 2 = 110; rest = 0 ⇒ 220 is deelbaar door 2 ⇒ 2 is een priemfactor van 220:
- 220 = 2 × 110.

2. Deel het resultaat van de vorige bewerking, 110, opnieuw door 2:
- 110 ÷ 2 = 55; rest = 0 ⇒ 110 is deelbaar door 2 ⇒ 2 is een priemfactor van 110:
- 220 = 2 × 110 = 2 × 2 × 55.
3. Deel het resultaat van de vorige bewerking, 55, opnieuw door 2:
- 55 ÷ 2 = 27 + 1; rest = 1 ⇒ 55 is niet deelbaar door 2.
4. Ga verder naar het volgende priemgetal, 3. Deel 55 door 3:
- 55 ÷ 3 = 18 + 1; rest = 1 ⇒ 55 is niet deelbaar door 3.
5. Ga verder naar het volgende priemgetal, 5. Deel 55 door 5:
- 55 ÷ 5 = 11; rest = 0 ⇒ 55 is deelbaar door 5 ⇒ 5 is een priemfactor van 55:
- 220 = 2 × 2 × 55 = 2 × 2 × 5 × 11.
6. Merk op dat de resterende factor, 11, een priemgetal is, dus we hebben alle priemfactoren van 220 al gevonden.
Conclusie, de ontbinding in priemfactoren van 220:
220 = 2 × 2 × 5 × 11.
Dit kan in verkorte vorm worden geschreven, in exponentiële notatie:
220 = 2² × 5 × 11.

Het ontbinden in priemfactoren van een getal: de priemgetallen vinden die zich vermenigvuldigen om dat getal te vormen.
De fundamentele stelling van de rekenkunde zegt dat elk geheel getal groter dan 1 kan worden geschreven als een product van een of meer priemgetallen, op een manier die uniek is, behalve de volgorde van de priemfactoren.
Het getal 1 wordt niet als een priemgetal beschouwd, dus het eerste priemgetal is 2.
Als het getal 1 als een priemgetal zou worden beschouwd, dan zou de ontbinding in priemfactoren van het getal 15 kunnen worden geschreven als: 15 = 3 × 5 OF 15 = 1 × 3 × 5 - deze twee representaties zouden worden beschouwd als verschillende ontbindingen van hetzelfde getal, dus de bovenstaande stelling zou niet langer geldig zijn.

De natuurlijke getallen die zonder rest alleen delen door 1 en zichzelf worden priemgetallen genoemd.
Voorbeelden van priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 and so on.
Als een getal een priemgetal is, kan het niet worden ontbonden in andere priemfactoren, het is alleen deelbaar door 1 en door zichzelf.

Een samengesteld getal is een natuurlijk getal dat ten minste één andere deler heeft dan 1 en het getal zelf.
Een samengesteld getal is ook elk natuurlijk getal groter dan 1 dat geen priemgetal is.
Voorbeelden van samengestelde getallen: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26 enzovoort.

Een priemgetal kan niet worden ontbonden tot andere priemfactoren, maar een getal dat een samengesteld getal is, kan dat wel, zoals hieronder weergegeven:
Voorbeeld 1: 6 is deelbaar door 6, 3, 2 en 1, dus 6 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. 6 kan op verschillende manieren worden geschreven als een product van factoren, zoals: 6 = 1 × 6, of 6 = 1 × 2 × 3 of 6 = 2 × 3. Maar de ontbinding in priemfactoren, ongeacht de volgorde van de factoren, is altijd: 6 = 2 × 3.
Voorbeeld 2: 120 kan op verschillende manieren worden geschreven als een product van factoren, zoals: 120 = 4 × 30 of 120 = 2 × 2 × 2 × 15 of 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5. Het ontbinden in priemfactoren is altijd: 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3 × 5 - de laatste vorm van schrijven is de gecondenseerde vorm, met exponenten, van de eerste vorm, de langere.
* Opmerking: 2³ = 2 × 2 × 2 = 8. We zeggen 2 tot de derde macht. In dit voorbeeld is 3 de exponent en 2 het grondtal. De exponent geeft aan hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. 2³ is het vermogen en 8 is de waarde van het vermogen.

Waarom is het belangrijk om te weten over de ontbinding in priemfactoren van de getallen?
De ontbinding in priemfactoren is handig bij het berekenen van de grootste gemene deler, ggd.
ggd is nodig bij het vereenvoudigen van breuken tot de eenvoudigste equivalente vormen.
Het ontbinden in priemfactoren is handig bij het berekenen van het kleinste gemene veelvoud, kgv, van getallen - dit is bijvoorbeeld nodig bij het optellen of aftrekken van breuken...
En de voorbeelden zouden kunnen doorgaan (deelbaarheid van getallen, het berekenen van alle delers van een getal, beginnend met ontbinding in priemfactoren, enzovoort...).

Meer voorbeelden van priemgetallen:
181 is alleen deelbaar door 181 en 1, dus 181 is een priemgetal.
2.341 is alleen deelbaar door 2.341 en 1, dus 2.341 is een priemgetal.
6.991 is alleen deelbaar door 6.991 en 1, dus 6.991 is een priemgetal.
Dit is de lijst met alle priemgetallen, van 1 tot 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
De priemgetallen worden gebruikt als basisblokken bij het bouwen van de ontbinding in priemfactoren van de samengestelde getallen. We zouden dus kunnen zeggen dat de priemgetallen echt de basisblokken zijn van de samengestelde getallen.