GGD van 8.514 en 1.287, de grootste gemene deler. Online rekenmachine

Rekenmachine voor de GGD van 8.514 en 1.287, de grootste gemene deler van de getallen. Met behulp van hun ontbinding in priemfactoren, de deelbaarheid van getallen of het Euclidische algoritme

De grootste gemene deler en hoe wordt deze berekend

Eerste stappen en voorbeelden

  • 1. Factoren van een getal:
    • Factoren van een getal zijn de getallen die met elkaar worden vermenigvuldigd om dat getal te krijgen.
    • Voorbeelden: 2 × 3 × 4 = 24; 4 × 9 = 36.
    • In deze gevallen zeggen we dat 2, 3 en 4 factoren van 24 zijn. En 4 en 9 factoren van 36 zijn.
  • 2. Gemeenschappelijke factoren van meerdere getallen:
    • Factoren die gemeenschappelijk zijn voor meerdere getallen worden gemeenschappelijke factoren genoemd. In onze voorbeelden is 4 zowel een factor van 24 als 36.
  • 3. De grootste gemene deler, ggd, van meerdere getallen
    • De grootste gemene deler, ggd, is de grootste van alle gemene delers van die meerdere getallen.
  • 4. Hoe wordt de grootste gemene deler berekend? Stap 1.
    • In onze voorbeelden zouden we geneigd kunnen zijn te zeggen dat 4 de grootste gemene deler is van 24 en 36. Maar wacht. Laten we proberen die factoren op te splitsen in andere factoren die zo klein mogelijk zijn.
    • 24 kan worden geschreven als: 24 = 2 × 2 × 2 × 3.
    • 36 kan ook worden geschreven als: 36 = 2 × 2 × 3 × 3.
    • In ons voorbeeld kunnen 2 en 3 niet verder worden opgesplitst in andere kleinere getallen.
  • 5. Priemgetallen:
    • 2 en 3 kunnen niet worden opgesplitst in andere kleinere getallen omdat ze priemgetallen zijn. Dit is de definitie van priemgetallen:
    • Een priemgetal heeft geen andere factoren dan 1 en zichzelf omdat het niet verder kan worden opgesplitst in andere kleinere getallen.
    • Voorbeelden van priemgetallen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, enzovoort, dit is een oneindige lijst.
  • 6. Hoe wordt de grootste gemene deler berekend? Stap 2.
    • We hebben gezien dat het een goed idee is om getallen op te splitsen in factoren die zo klein mogelijk zijn, en ze te schrijven als een product van priemfactoren. Dit is de definitie van het ontbinden van een getal in priemfactoren.
    • De ontbinding in priemfactoren van 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3.
    • De ontbinding in priemfactoren van 36 = 2 × 2 × 3 × 3 = 22 × 32.
    • Om de ggd te berekenen, kiest u gewoon alle gemeenschappelijke priemfactoren van beide getallen en vermenigvuldigt u ze:
    • ggd (24 en 36) = 2 × 2 × 3 = 22 × 3 = 12.

Bereken de grootste gemene deler
ggd (8.514; 1.287) = ?

Methode 1. De ontbinding in priemfactoren:

Het ontbinden in priemfactoren van een getal: de priemgetallen vinden die zich vermenigvuldigen om dat getal te maken.


8.514 = 2 × 32 × 11 × 43
8.514 is geen priemgetal maar een samengesteld geta.

1.287 = 32 × 11 × 13
1.287 is geen priemgetal maar een samengesteld geta.



Bereken de grootste gemene deler:

Vermenigvuldig alle gemeenschappelijke priemfactoren, genomen door hun kleinste machten (krijg alleen de priemgetallen met de kleinste exponenten).


De grootste gemene deler,
ggd (8.514; 1.287) = 32 × 11 = 99
De twee getallen hebben gemeenschappelijke priemfactoren.
Scroll naar beneden voor de 2e methode...

Methode 2. Het Euclidische algoritme:

  • Dit algoritme omvat het delen van getallen en het berekenen van de restanten.
  • 'a' en 'b' zijn de twee natuurlijke getallen, 'a' >= 'b'.
  • Deel 'a' door 'b' en verkrijg de rest van de bewerking, 'r'.
  • Als 'r' = 0, STOP. 'b' = de ggd van 'a' en 'b'.
  • Anders: Vervang ('a' door 'b') en ('b' door 'r'). Keer terug naar de stap hierboven.

  • » Het Euclidische algoritme



Stap 1. Deel het grotere getal door het kleinere:
8.514 : 1.287 = 6 + 792
Stap 2. Deel het kleinere getal door de rest van de bovenstaande bewerking:
1.287 : 792 = 1 + 495
Stap 3. Deel de rest van stap 1 door de rest van stap 2:
792 : 495 = 1 + 297
Stap 4. Deel de rest van stap 2 door de rest van stap 3:
495 : 297 = 1 + 198
Stap 5. Deel de rest van stap 3 door de rest van stap 4:
297 : 198 = 1 + 99
Stap 6. Deel de rest van stap 4 door de rest van stap 5:
198 : 99 = 2 + 0
Bij deze stap is de rest nul, dus stoppen we:
99 is het getal waar we naar op zoek waren - de laatste niet-nul rest.
Dit is de grootste gemene deler.


De grootste gemene deler:
ggd (8.514; 1.287) = 99 = 32 × 11
De twee getallen hebben gemeenschappelijke priemfactoren


Waarom moeten we de grootste gemene deler berekenen?


Soortgelijke bewerkingen met de grootste gemene delerberekening, GGD:

» GGD van 8.480 en 1.328, de grootste gemene deler. Online rekenmachine

» Maandelijkse bewerkingen: De berekende waarden van de grootste gemene deler, GGD

» Maand 11, 2025 [November]: De berekende waarden van de grootste gemene deler, GGD


Delen

De grootste gemene deler, ggd. Wat het is en hoe het te berekenen.

  • Opmerking: Het ontbinden in priemfactoren van een getal: de priemgetallen vinden die zich vermenigvuldigen om dat getal te maken.
  • Stel dat wanneer het getal "t" het getal "a" deelt, de rest nul is.
  • Als we kijken naar de ontbinding in priemfactoren van "a" en "t", vinden we dat:
  • 1) alle priemfactoren van "t" zijn ook priemfactoren van "a" en
  • and
  • 2) de exponenten van de priemfactoren van "t" zijn gelijk aan of kleiner dan de exponenten van de priemfactoren van "a" (zie de * opmerking hieronder)
  • Het getal 12 is bijvoorbeeld een deler van het getal 60:
  • 12 = 2 × 2 × 3 = 22 × 3
  • 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
  • * Opmerking: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. We zeggen 2 tot de derde macht. In dit voorbeeld is 3 de exponent en 2 het grondtal. De exponent geeft aan hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. 23 is het vermogen en 8 is de waarde van het vermogen.
  • Als het getal "t" een gemene deler is van de getallen "a" en "b", dan:
  • 1) "t" heeft alleen de priemfactoren die ook ingrijpen in de priemontbinding van "a" en "b".
  • and
  • 2) elke priemfactor van "t" heeft de kleinste exponenten ten opzichte van de priemfactoren van de getallen "a" en "b".
  • Het getal 12 is bijvoorbeeld de gemene deler van de getallen 48 en 360. Hieronder vindt u hun ontbinding in priemfactoren:
  • 12 = 22 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • Je ziet dat het getal 12 alleen de priemfactoren heeft die ook voorkomen bij het ontbinden in priemfactoren van de getallen 48 en 360.
  • Je kunt hierboven zien dat de getallen 48 en 360 verschillende gemeenschappelijke delers hebben: 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Hiervan is 24 de grootste gemene deler (ggd) van 48 en 360.
  • 24 = 2 × 2 × 2 × 3 = 23 × 3
  • 48 = 24 × 3
  • 360 = 23 × 32 × 5
  • 24, de grootste gemene deler van de getallen 48 en 360, wordt berekend als het product van alle gemeenschappelijke priemfactoren van de twee getallen, genomen door de kleinste exponenten (de kleinste machten).
  • Als twee getallen "a" en "b" geen andere gemene deler dan 1 hebben, ggd (a, b) = 1, dan worden de getallen "a" en "b" relatief priemgetal genoemd.
  • Als "a" en "b" geen relatief priemgetal zijn, dan is elke gemene deler van "a" en "b" een deler van de grootste gemene deler van "a" en "b".
  • Laten we een voorbeeld bekijken voor het berekenen van de grootste gemene deler, ggd, van de volgende getallen:
  • 1.260 = 22 × 32
  • 3.024 = 24 × 32 × 7
  • 5.544 = 23 × 32 × 7 × 11
  • ggd (1.260, 3.024, 5.544) = 22 × 32 = 252
  • En nog een voorbeeld:
  • 900 = 22 × 32 × 52
  • 270 = 2 × 33 × 5
  • 210 = 2 × 3 × 5 × 7
  • ggd (900, 270, 210) = 2 × 3 × 5 = 30
  • En nog een voorbeeld:
  • 90 = 2 × 32 × 5
  • 27 = 33
  • 22 = 2 × 11
  • ggd (90, 27, 22) = 1 - De drie getallen hebben geen priemfactoren gemeen, ze zijn relatief priemgetallen.