1. Priemgetallen. 2. De grondstelling van de rekenkunde. 3. Samengestelde getallen. 4. Opmerkingen
1. Priemgetallen
Een priemgetal is een natuurlijk getal, groter dan 1, dat zonder rest deelbaar is door 1 en zichzelf.
Elk priemgetal "m" heeft slechts twee delers: het getal zelf, "m", en het getal 1.
Voorbeelden van priemgetallen:
1 wordt niet beschouwd als een priemgetal, dus het eerste priemgetal is 2 (de lijst met priemgetallen begint met het getal 2).
2 is alleen deelbaar door 2 en 1, dus 2 is een priemgetal.
3 is alleen deelbaar door 3 en 1, dus 3 is een priemgetal.
5 is alleen deelbaar door 5 en 1, dus 5 is een priemgetal.
13 is alleen deelbaar door 13 en 1, dus 13 is een priemgetal.
2. De fundamentele stelling van de rekenkunde
De fundamentele stelling van de rekenkunde zegt dat elk natuurlijk getal groter dan 1 kan worden geschreven als een product van een of meer priemgetallen op een manier die uniek is, behalve de volgorde van de priemfactoren.
Waarom wordt 1 niet als een priemgetal beschouwd? Als 1 als een priemgetal zou worden beschouwd, dan zou de ontbinding in priemfactoren van het getal 15 bijvoorbeeld kunnen zijn: 15 = 3 × 5 of 15 = 1 × 3 × 5. Deze twee representaties zouden zijn beschouwd als twee verschillende ontbindingen in priemfactoren van hetzelfde getal, 15, dus de bewering van de fundamentele stelling zou niet langer waar zijn.
3. Samengestelde getallen
Een samengesteld getal is een natuurlijk getal dat ten minste één andere positieve deler heeft dan 1 en het getal zelf.
Een samengesteld getal is ook elk getal groter dan 1 dat geen priemgetal is.
Het ontbinden in priemfactoren van een getal: de priemgetallen vinden die zich vermenigvuldigen om dat getal te vormen.
Voorbeelden van samengestelde getallen:
4 is deelbaar door 4, 2 en 1, dus 4 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De ontbinding in priemfactoren van 4 = 2 × 2 = 22
Eerste opmerking: het tweede deel van het ontbinden in priemfactoren van 4 is geschreven met behulp van machten en exponenten en het is een verkorte vorm van schrijven van het eerste deel.
Tweede noot: 23 = 2 × 2 × 2 = 8. 2 wordt het grondtal genoemd en 3 is de exponent. De exponent geeft aan hoe vaak het grondtal met zichzelf wordt vermenigvuldigd. 23 is het vermogen en 8 is de waarde van het vermogen. 23 = We zeggen 2 tot de derde macht.
6 is deelbaar door 6, 3, 2 en 1, dus 6 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De ontbinding in priemfactoren van 6 = 2 × 3
8 is deelbaar door 8, 4, 2 en 1, dus 8 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De ontbinding in priemfactoren is 8 = 23
9 is deelbaar door 9, 3 en 1, dus 9 is geen priemgetal, het is een samengesteld getal. De factorisatie in priemfactoren: 9 = 32
4. Opmerkingen over de priemgetallen
De lijst met de eerste priemgetallen, tot 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
De priemgetallen zijn de basisbouwstenen van alle getallen, rekening houdend met het feit dat elk getal kan worden geschreven als een product van een of meer priemgetallen. Elk samengesteld getal kan worden geschreven als een product van ten minste twee priemgetallen.
EUCLID (300 v.Chr.) bewees dat aangezien de verzameling natuurlijke of gehele getallen oneindig is, ook de verzameling priemgetallen oneindig is, zonder grootste priemgetal.
Er is geen eenvoudige formule bekend die alle priemgetallen onderscheidt van de samengestelde.